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Questão
ponto)
Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superficie do cilindro
, compreendida entre os planos
e
. Se o metro quadrado do zinco custa
reais, calcule o preço total da peça.
Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superficie do cilindro
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos construir uma peça de zinco com a forma da superfície de um cilindro definido por
. Essa superfície está limitada entre o plano
e o plano
, onde
. O objetivo é calcular o custo total dessa peça, sabendo que cada metro quadrado de zinco custa
reais.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo para encontrar a área da superfície do cilindro nessa região específica. Depois, multiplicaremos essa área pelo custo por metro quadrado para obter o preço total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do cilindro. A equação
representa um cilindro circular reto com raio 2, perpendicular ao eixo
. Esse cilindro se estende indefinidamente ao longo do eixo
, mas nosso interesse está na parte entre
e
determinado pelo plano
.
Passo 3
Para encontrar a área da superfície do cilindro nessa região, podemos usar coordenadas cilíndricas, que são úteis para cilindros. Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas cartesianas
,
,
são representadas por
,
,
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Para nosso cilindro
, temos
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites para
e
. Como o cilindro é completo em torno do eixo
,
varia de 0 a
. Para
, no plano
, podemos expressar
em termos de
:
Convertendo a equação do plano para coordenadas cilíndricas:
Substituindo na equação do plano:
Então:
Como
, temos:
Passo 5
A área da superfície lateral de um cilindro em coordenadas cilíndricas é dada por:
Onde
.
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 8
Calculando cada parte:
Então, a área total é:
Resposta
O preço total da peça de zinco é
reais.