(5 5^ a Questão -1,5 ponto)
Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superficie do cilindro x^2+y^2=4, compreendida entre os planos z=0 e x+y+z=4, z >= 0. Se o metro quadrado do zinco custa M reais, calcule o preço total da peça.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos construir uma peça de zinco com a forma da superfície de um cilindro definido por x^2 + y^2 = 4 . Essa superfície está limitada entre o plano z = 0 e o plano x + y + z = 4 , onde z >= 0 . O objetivo é calcular o custo total dessa peça, sabendo que cada metro quadrado de zinco custa M reais.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo para encontrar a área da superfície do cilindro nessa região específica. Depois, multiplicaremos essa área pelo custo por metro quadrado para obter o preço total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do cilindro. A equação x^2 + y^2 = 4 representa um cilindro circular reto com raio 2, perpendicular ao eixo z . Esse cilindro se estende indefinidamente ao longo do eixo z , mas nosso interesse está na parte entre z = 0 e z determinado pelo plano x + y + z = 4 .

Passo 3

Para encontrar a área da superfície do cilindro nessa região, podemos usar coordenadas cilíndricas, que são úteis para cilindros. Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas cartesianas x , y , z são representadas por r , theta , z , onde:
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy ,
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x ,
  • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
Para nosso cilindro x^2 + y^2 = 4 , temos r = 2 .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites para theta e z . Como o cilindro é completo em torno do eixo z , theta varia de 0 a 2pi . Para z , no plano x + y + z = 4 , podemos expressar z em termos de theta :
Convertendo a equação do plano para coordenadas cilíndricas:
x = r cos theta = 2 cos theta
y = r sin theta = 2 sin theta
Substituindo na equação do plano:
2 cos theta + 2 sin theta + z = 4
Então:
z = 4 - 2 (cos theta + sin theta)
Como z >= 0 , temos:
0 <= z <= 4 - 2 (cos theta + sin theta)

Passo 5

A área da superfície lateral de um cilindro em coordenadas cilíndricas é dada por:
A = integraltheta=0^2pi integralz=0^z=4 - 2 (cos theta + sin theta) r , dz , dtheta
Onde r = 2 .
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z :
integralz=0^4 - 2 (cos theta + sin theta) 2 , dz = 2 [ z ]0^4 - 2 (cos theta + sin theta) = 2 ( 4 - 2 (cos theta + sin theta) )
Simplificando:
8 - 4 (cos theta + sin theta)

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta :
A = integral0^2pi ( 8 - 4 (cos theta + sin theta) ) dtheta
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
A = 8 integral0^2pi dtheta - 4 integral0^2pi (cos theta + sin theta) dtheta

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. 8 integral0^2pi dtheta = 8 [theta]0^2pi = 8 times 2pi = 16pi
  2. -4 integral0^2pi cos theta , dtheta = -4 [sin theta]0^2pi = -4 (0 - 0) = 0
    -4 integral0^2pi sin theta , dtheta = 4 [cos theta]0^2pi = 4 (1 - 1) = 0
Então, a área total é:
A = 16pi + 0 + 0 = 16pi , metros quadrados

Resposta

O preço total da peça de zinco é 16pi M reais.

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