Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando teorema de resíduos
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo
.
O conteúdo aqui é o Teorema dos Resíduos: basta encontrar os polos de
O conteúdo aqui é o Teorema dos Resíduos: basta encontrar os polos de
determinar quais estão dentro de
, calcular seus resíduos e usar
Passo 2
Identificamos os polos de
:
-
, pólo de ordem 3 (vem do no denominador). -
, polos simples (raízes de ).
Agora vemos quais estão dentro de:
Logo, apenas
e
ficam dentro da curva.
Passo 3
Cálculo de . Como é pólo simples em
,
Substituindo
:
Passo 4
Cálculo de . Para pólo de ordem 3 em
, usamos
Chamando
expandimos em série de Maclaurin:
Multiplicando,
Portanto
Passo 5
Somando os resíduos dentro de
:
Pelo Teorema dos Resíduos,
Resposta
(Observação:
, então dá também
.)