Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando teorema de resíduos
ointGamma^+ (1-cos (z)) d zz^3(z^2+1), Gamma:|z-i|=32

Passo 1

O enunciado pede para calcular
onde é o círculo .
O conteúdo aqui é o Teorema dos Resíduos: basta encontrar os polos de
determinar quais estão dentro de , calcular seus resíduos e usar

Passo 2

Identificamos os polos de f:
  1. z=0, pólo de ordem 3 (vem do z^3 no denominador).
  2. z=pm i, polos simples (raízes de z^2+1).
    Agora vemos quais estão dentro de Gamma:
|0-i|=1<tfrac32, |i-i|=0<tfrac32, |-i-i|=2>tfrac32
Logo, apenas z=0 e z=i ficam dentro da curva.

Passo 3

Cálculo de . Como é pólo simples em ,
Substituindo :

Passo 4

Cálculo de . Para pólo de ordem 3 em , usamos
Chamando
expandimos em série de Maclaurin:
Multiplicando,
Portanto

Passo 5

Somando os resíduos dentro de :
Pelo Teorema dos Resíduos,

Resposta

ointGamma^+1-cos(z)z^3(z^2+1),dz =pi il(2-cos(i)r)
(Observação: cos(i)=cosh(1), então dá também pi i,(2-cosh1).)

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