Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando teorema de resíduos
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo
orientado positivamente.
O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos em funções de variável complexa, e vamos precisar identificar polos de segunda ordem dentro de e calcular suas contribuições.
O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos em funções de variável complexa, e vamos precisar identificar polos de segunda ordem dentro de
Passo 2
As singularidades de
são
(polo de ordem 2) e
(polo de ordem 2). Como
e
, ambos estão dentro de
. Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 3
Para o polo duplo em
usamos
Calculando a derivada,
e avaliando em
:
Passo 4
Para o polo duplo em
temos
Calculando:
e avaliando em
:
Passo 5
Somando as duas contribuições:
Portanto, pela fórmula dos resíduos,