Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando teorema de resíduos
ointGamma^+ sin (z) d zz^2(z-i)^2, Gamma:|z-i|=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointGamma^+sin(z)z^2,(z-i)^2,dz,
onde Gamma é o círculo lvert z - irvert=2 orientado positivamente.
O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos em funções de variável complexa, e vamos precisar identificar polos de segunda ordem dentro de Gamma e calcular suas contribuições.

Passo 2

As singularidades de
são (polo de ordem 2) e (polo de ordem 2). Como e , ambos estão dentro de . Pelo Teorema dos Resíduos,

Passo 3

Para o polo duplo em usamos
Calculando a derivada,
e avaliando em :

Passo 4

Para o polo duplo em temos
Calculando:
e avaliando em :

Passo 5

Somando as duas contribuições:
Portanto, pela fórmula dos resíduos,

Resposta

boxed ointGamma^+sin(z)z^2,(z-i)^2,dz =2pi il(-1-cos(i)-2isin(i)r)

Exercícios relacionados