Calcule as seguintes integrais curvilíneas de segunda espécie.
integralC cos y d x-sin x d y, onde C é o segmento A B da bissetriz do segundo quadrante, se a bissetriz do ponto A é igual a 2 e a ordenada do ponto B é igual a 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea de segunda espécie
integralCcos y,dx ;-;sin x,dy,
onde C é o segmento AB sobre a bissetriz do segundo quadrante, isto é, a reta ,y=-x. Diz-se que em A certo coordenada vale 2 e em B outra coordenada vale 2. Para desambiguar e obter segmento não degenerado, tomamos a ordenada de A como yA=2, o que obriga xA=-2, e a abscissa de B como xB=2, o que obriga yB=-2. Assim
A = (-2,2), B=(2,-2),
e C é o segmento de A a B em y=-x.

Passo 2

Vamos parametrizar C por
r(t)=(x(t),y(t))=(t,,-t),
com t variando de -2 (em A) até 2 (em B). Dessa forma
dx = dt, dy = -,dt

Passo 3

Substituindo na integral,
integralCcos y,dx ;-;sin x,dy =integralt=-2^2l[cosl(y(t)r),x'(t);-;sinl(x(t)r),y'(t)r],dt
Como y(t)=-t, x'(t)=1, y'(t)=-1, fica
integral-2^2l[cos(-t)cdot1 ;-;sin(t)cdot(-1)r],dt =integral-2^2l[cos t + sin tr],dt

Passo 4

Separamos em duas integrais:
integral-2^2cos t,dt =l[sin tr]-2^2 =sin(2)-sin(-2) =2,sin2,
integral-2^2sin t,dt =l[-cos tr]-2^2 =-cos(2)+cos(-2) =0
Somando, a integral total é 2sin2+0=2sin2.

Resposta

integralCcos y,dx ;-;sin x,dy = 2,sin2

Exercícios relacionados