Utilize o teste da integral para dizer se as seguintes séries convergem.
sumn=1^infty nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
sumn=1^infty nn^2+1.
O que precisamos é comparar essa soma com a integral da função contínua
f(x)=xx^2+1,
definida em [1,infty), mostrando que f é positiva e decrescente, e depois verificar se
integral1^inftyf(x),dx converge ou diverge.

Passo 2

Mostramos que f(x)>0 para todo x>=1 e que f é decrescente em [1,infty). Calculando a derivada,
f'(x) =(x^2+1)cdot1 - xcdot2x(x^2+1)^2 =x^2+1-2x^2(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2
Para x>=1 temos 1-x^2<=0, logo f'(x)<=0. Assim f é decrescente e atende às hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Vamos avaliar
integral1^inftyxx^2+1,dx
Use a substituição u=x^2+1, de onde du=2x,dx, portanto x,dx=tfrac12,du. Assim
integral1^inftyxx^2+1,dx =12integralu(1)^u(infty)duu =12l[ln ur]u=2^utoinfty =12limRtoinftyl(ln(R^2+1)-ln2r)
Como ln(R^2+1)toinfty quando Rtoinfty, a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se
integral1^inftyf(x),dx diverge, então
sumn=1^inftyf(n) também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftynn^2+1 diverge.

Exercícios relacionados