Utilize o teste da integral para dizer se as seguintes séries convergem.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
.
O que precisamos é comparar essa soma com a integral da função contínua
O que precisamos é comparar essa soma com a integral da função contínua
definida em
, mostrando que
é positiva e decrescente, e depois verificar se
converge ou diverge.
Passo 2
Mostramos que
para todo
e que
é decrescente em
. Calculando a derivada,
Para
temos
, logo
. Assim
é decrescente e atende às hipóteses do teste da integral.
Passo 3
Vamos avaliar
Use a substituição
, de onde
, portanto
. Assim
Como
quando
, a integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
diverge, então
também diverge.
Resposta
A série
diverge.