Use o teorema de Bolzano-Weierstrass para concluir que a sequência abaixo converge
raiz2, raiz2 raiz2, raiz2 raiz2 raiz2, ldots
Calcule o limite dessa sequência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
a1 = raiz2, a2 = raiz2raiz2, a3 = raiz2raiz2raiz2,;dots
converge (usando o teorema de Bolzano–Weierstrass) e calcular seu limite. O conteúdo aqui é a análise de sequências recursivas: vamos definir uma relação de recorrência, provar que a sequência é limitada e crescente, aplicar Bolzano–Weierstrass (mais a monotonicidade) para garantir convergência e, por fim, achar o limite como solução de uma equação em ponto fixo.

Passo 2

Definimos
a1 = raiz2, an = raiz2,an-1(n>=2)
Para mostrar que (an) é limitada superiormente por 2, usamos indução:
Base ( n=1): ;a1 = raiz2<2
Passo indutivo: suponha an-1<=2. Então
an = raiz2,an-1 <= raiz2cdot2 = 2
Logo, por indução, an<=2 para todo n.

Passo 3

Agora mostramos que (an) é estritamente crescente: para n>=2,
an > an-1 ;Long<=ftrightarrow; raiz2,an-1 > an-1
Elevando ao quadrado (sabendo que an-1>0),
2,an-1 > an-1^2 ;Long<=ftrightarrow; an-1(2 - an-1) > 0,
que vale porque já vimos 0<an-1<=2. Logo an>an-1.

Passo 4

Como (an) é limitada (por 2) e crescente, todo subsequência tem limite e esse limite é o mesmo da sequência inteira. Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass existe ao menos uma subsequência convergente, e pela monotonicidade toda a sequência converge para o mesmo valor.

Passo 5

Seja L=limntoinftyan. Passando ao limite na relação de recorrência,
L = raiz2,L
Elevando ao quadrado,
L^2 = 2L ;Longrightarrow; L,(L-2)=0 ;Longrightarrow; L=0 ou L=2
Como an>0 para todo n, descarta-se L=0 e fica L=2.

Resposta

O limite da sequência é 2.

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