Use o teorema de Bolzano-Weierstrass para concluir que a sequência abaixo converge
Calcule o limite dessa sequência.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
converge (usando o teorema de Bolzano–Weierstrass) e calcular seu limite. O conteúdo aqui é a análise de sequências recursivas: vamos definir uma relação de recorrência, provar que a sequência é limitada e crescente, aplicar Bolzano–Weierstrass (mais a monotonicidade) para garantir convergência e, por fim, achar o limite como solução de uma equação em ponto fixo.
Passo 2
Definimos
Para mostrar que
é limitada superiormente por
, usamos indução:
Base (
):
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 3
Agora mostramos que
é estritamente crescente: para
,
Elevando ao quadrado (sabendo que
),
que vale porque já vimos
. Logo
.
Passo 4
Como
é limitada (por
) e crescente, todo subsequência tem limite e esse limite é o mesmo da sequência inteira. Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass existe ao menos uma subsequência convergente, e pela monotonicidade toda a sequência converge para o mesmo valor.
Passo 5
Seja
. Passando ao limite na relação de recorrência,
Elevando ao quadrado,
Como
para todo
, descarta-se
e fica
.
Resposta
O limite da sequência é
.