Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário:
integral0^2(x^2-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região entre a curva y = x^2 - x e o eixo x, de x=0 a x=2, e calcular a integral
integral0^2l(x^2-xr),dx
O conteúdo aqui é interpretação de área com sinal e cálculo de integrais de polinômios usando fórmulas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, achamos onde f(x)=x^2-x cruza o eixo x.
Resolvendo
x^2 - x = 0 Longrightarrow x(x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1
Isso mostra que, em [0,1], f(x)<=0 (a curva fica abaixo do eixo) e em [1,2], f(x)>=0 (a curva fica acima). A integral dá a área acima menos a área abaixo.

Passo 3

Calculamos a parte negativa:
integral0^1l(x^2-xr),dx = -integral0^1l(x - x^2r),dx
Usamos as fórmulas
integral0^1x,dx = 1^22 = tfrac12, integral0^1x^2,dx = 1^33 = tfrac13
Logo
integral0^1l(x - x^2r),dx = tfrac12-tfrac13 = tfrac16 Longrightarrow integral0^1l(x^2-xr),dx = -tfrac16

Passo 4

Agora a parte positiva:
integral1^2l(x^2-xr),dx
Uma primitiva de x^2 - x é
F(x) = x^33 - x^22
Avaliando em 1 e 2:
F(2)-F(1) = l(tfrac83-2r) - l(tfrac13-tfrac12r) = l(tfrac8-63r) - l(tfrac2-36r) = tfrac23 - l(-tfrac16r) = tfrac23 + tfrac16 = tfrac56

Passo 5

Somando as duas partes:
integral0^2l(x^2-xr),dx = l(-tfrac16r) + tfrac56 = tfrac46 = tfrac23

Resposta

tfrac23

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