Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
\int_{C}(x+z) d s, onde C é um arco da curva x=t, y=\frac{3 t^{2}}{\sqrt{2}}, z=t^{3}, 0 \leq t \leq 1. (Resposta: \frac{56 \sqrt{7}-1}{54} )

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de primeira espécie
\int_{C}(x+z)\,ds
onde C é a curva parametrizada por
x=t,\quad y=\frac{3t^{2}}{\sqrt{2}},\quad z=t^{3},\qquad 0\le t\le1.
Para resolver, usaremos a fórmula
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dz}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt
e transformaremos a integral de linha num integral em t.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
\frac{dx}{dt}=1,\quad \frac{dy}{dt}=\frac{6t}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\,t,\quad \frac{dz}{dt}=3t^{2}.
Logo,
ds =\sqrt{1+(3\sqrt{2}\,t)^{2}+(3t^{2})^{2}}\;dt =\sqrt{1+18t^{2}+9t^{4}}\;dt =\sqrt{9t^{4}+18t^{2}+1}\;dt.

Passo 3

Substituindo x=t, z=t^{3} e ds na integral, obtemos
\int_{C}(x+z)\,ds =\int_{0}^{1}\bigl(t+t^{3}\bigr)\,\sqrt{9t^{4}+18t^{2}+1}\;dt.

Passo 4

Note que se definirmos
W=9t^{4}+18t^{2}+1,
então
\frac{dW}{dt}=36t\bigl(t^{2}+1\bigr)=36\bigl(t+t^{3}\bigr).
Assim
\bigl(t+t^{3}\bigr)\,dt=\frac{dW}{36},
e a integral fica
\int_{0}^{1}\bigl(t+t^{3}\bigr)\sqrt{W}\;dt =\frac{1}{36}\int_{W(0)}^{W(1)}\sqrt{W}\;dW.
Aqui W(0)=1 e W(1)=9+18+1=28.

Passo 5

Integramos em W:
\frac{1}{36}\int_{1}^{28}W^{1/2}\,dW =\frac{1}{36}\cdot\frac{2}{3}\bigl[W^{3/2}\bigr]_{1}^{28} =\frac{1}{54}\bigl(28^{3/2}-1\bigr).
Como 28=4\cdot7 e \sqrt{28}=2\sqrt{7}, temos
28^{3/2}=(2\sqrt{7})^{3}=8\cdot7\sqrt{7}=56\sqrt{7}.

Resposta

\int_{C}(x+z)\,ds =\frac{56\sqrt{7}-1}{54}.

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