Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
\int_{C} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d s, onde C é o arco da evolvente da circunferência x=a(\cos t+ t \operatorname{sen} t), y=a(\operatorname{sen} t-t \cos t), 0 \leq t \leq 2 \pi .\left(\right. Resposta: \left.\frac{a^{2}}{3}\left[\sqrt{\left(1+4 \pi^{2}\right)^{3}}-1\right]\right)

Passo 1

O enunciado pede a integral curvilínea de primeira espécie
\int_{C}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,ds
onde C é dado pela involvente da circunferência com parametrização
x(t)=a\bigl(\cos t+t\sin t\bigr),\quad y(t)=a\bigl(\sin t-t\cos t\bigr), \quad 0\le t\le2\pi.
O que precisamos:
  1. Usar a fórmula
\int_C f(x,y)\,ds =\int_{t_0}^{t_1}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.
  1. Calcular \sqrt{x(t)^2+y(t)^2}, depois x'(t), y'(t) e montar a integral em t.

Passo 2

Calculemos primeiro
x(t)^2+y(t)^2 =a^2\bigl(\cos t+t\sin t\bigr)^2 +a^2\bigl(\sin t-t\cos t\bigr)^2.
Expandindo e somando os termos mistos, verifica‐se que
x(t)^2+y(t)^2 =a^2\bigl(\cos^2t+\sin^2t + t^2(\sin^2t+\cos^2t)\bigr) =a^2\bigl(1+t^2\bigr).
Logo
\sqrt{x(t)^2+y(t)^2} =a\sqrt{1+t^2}.

Passo 3

Agora derivamos para obter ds:
x'(t) =a\bigl(-\sin t +\sin t + t\cos t\bigr) =a\,t\cos t,
y'(t) =a\bigl(\cos t -\cos t + t\sin t\bigr) =a\,t\sin t.
Portanto
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2} =a\,t\sqrt{\cos^2t+\sin^2t} =a\,t.
Assim ds=a\,t\,dt.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int_{C}\sqrt{x^2+y^2}\,ds =\int_{0}^{2\pi} \Bigl(a\sqrt{1+t^2}\Bigr)\,\Bigl(a\,t\Bigr)\,dt =a^2\int_{0}^{2\pi}t\sqrt{1+t^2}\,dt.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{2\pi}t\sqrt{1+t^2}\,dt,
façamos a substituição
u=1+t^2,\quad du=2t\,dt \;\Longrightarrow\; t\,dt=\tfrac12\,du.
Quando t=0, u=1. Quando t=2\pi, u=1+4\pi^2. Então
\int_{0}^{2\pi}t\sqrt{1+t^2}\,dt =\frac12\int_{1}^{1+4\pi^2}\sqrt{u}\,du =\frac12\cdot\frac{2}{3}\,\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{1+4\pi^2} =\frac{1}{3}\Bigl[(1+4\pi^2)^{3/2}-1\Bigr].

Passo 6

Voltando ao fator a^2, temos
\int_{C}\sqrt{x^2+y^2}\,ds =a^2\cdot\frac{1}{3}\Bigl[(1+4\pi^2)^{3/2}-1\Bigr] =\frac{a^2}{3}\Bigl[(1+4\pi^2)^{3/2}-1\Bigr].

Resposta

\boxed{\frac{a^2}{3}\Bigl[(1+4\pi^2)^{3/2}-1\Bigr]}

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