Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
, onde
é o contorno do quadrado
. (Resposta: 0)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral curvilínea de primeira espécie
onde
é o contorno do quadrado definido por
, com
. Vamos usar parametrizações das quatro arestas e explorar simetria para ver que o resultado é zero.
Passo 2
Decompondo o contorno
em quatro segmentos
,
,
e
, orientados no sentido anti-horário:
-
de a , -
de a , -
de a , -
de a .
Passo 3
Parametrizamos
por
então
e
De modo análogo, no segmento oposto
(de
a
) a parametrização produz a mesma integral
Passo 4
Agora
de
a
pode ser parametrizado por
levando a
E o segmento
de
a
dá a mesma contribuição negativa
Passo 5
Somando as quatro integrais: