Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
\int_{C} x y d s, onde C é o contorno do quadrado |x|+|y|=a(a>0). (Resposta: 0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea de primeira espécie
\int_{C} x\,y \,ds
onde C é o contorno do quadrado definido por \lvert x\rvert+\lvert y\rvert=a, com a>0. Vamos usar parametrizações das quatro arestas e explorar simetria para ver que o resultado é zero.

Passo 2

Decompondo o contorno C em quatro segmentos C_1, C_2, C_3 e C_4, orientados no sentido anti-horário:
  • C_1 de (a,0) a (0,a),
  • C_2 de (0,a) a (-a,0),
  • C_3 de (-a,0) a (0,-a),
  • C_4 de (0,-a) a (a,0).

Passo 3

Parametrizamos C_1 por
x(t)=a-t,\quad y(t)=t,\quad t\in[0,a],
então
ds=\sqrt{(\dot x)^2+(\dot y)^2}\,dt =\sqrt{(-1)^2+1^2}\,dt=\sqrt{2}\,dt
e
\int_{C_1}x\,y\,ds =\int_{0}^{a}(a-t)\,t\;\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{a}(a t - t^2)\,dt =\sqrt{2}\Bigl[\tfrac{a\,t^2}{2}-\tfrac{t^3}{3}\Bigr]_{0}^{a} =\sqrt{2}\,\frac{a^3}{6}.
De modo análogo, no segmento oposto C_3 (de (-a,0) a (0,-a)) a parametrização produz a mesma integral
\int_{C_3}x\,y\,ds =\sqrt{2}\,\frac{a^3}{6}.

Passo 4

Agora C_2 de (0,a) a (-a,0) pode ser parametrizado por
x(t)=-t,\quad y(t)=a-t,\quad t\in[0,a],
levando a
x\,y=(-t)(a-t)=-\bigl(a t - t^2\bigr), \quad ds=\sqrt{2}\,dt,
\int_{C_2}x\,y\,ds =-\sqrt{2}\int_{0}^{a}(a t - t^2)\,dt =-\sqrt{2}\,\frac{a^3}{6}.
E o segmento C_4 de (0,-a) a (a,0) dá a mesma contribuição negativa
\int_{C_4}x\,y\,ds =-\sqrt{2}\,\frac{a^3}{6}.

Passo 5

Somando as quatro integrais:
\int_C x\,y\,ds =\Bigl(\sqrt{2}\tfrac{a^3}{6}+\sqrt{2}\tfrac{a^3}{6}\Bigr) +\Bigl(-\sqrt{2}\tfrac{a^3}{6}-\sqrt{2}\tfrac{a^3}{6}\Bigr) =0.

Resposta

0

Exercícios relacionados