Determine a equação do plano tangente de f(x, y)=x^{2}+y^{2} no ponto (1,1, f(1,1)).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a equação do plano tangente à superfície f(x,y)=x^2+y^2 no ponto (1,1,f(1,1)). Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=2x
f_y(x,y)=2y
Avaliando em (1,1), obtemos f_x(1,1)=2 e f_y(1,1)=2.

Passo 3

Usamos a fórmula do plano tangente:
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0)
Substituindo x_0=1, y_0=1, z_0=f(1,1)=2, f_x(1,1)=2 e f_y(1,1)=2, temos:
z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1).

Passo 4

Simplificando a equação:
z - 2 = 2x - 2 + 2y - 2 \implies z = 2x + 2y - 2.

Resposta

z = 2x + 2y - 2

Exercícios relacionados