Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
f(x, y)=x^{2}+6 x y+10 y^{2}-4 y+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x^{2}+6xy+10y^{2}-4y+4
e classificá-los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Para isso vamos calcular o gradiente, igualar a zero para achar o(s) ponto(s) crítico(s) e usar a matriz Hessiana para classificar cada um.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+6y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=6x+20y-4.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2x+6y=0,\\\\ 6x+20y-4=0, \end{cases}
da primeira equação vem x+3y=0\Rightarrow x=-3y.
Substituindo na segunda:
6(-3y)+20y-4=0\quad\Longrightarrow\quad -18y+20y-4=0\quad\Longrightarrow\quad 2y=4\quad\Longrightarrow\quad y=2,
portanto x=-3\cdot2=-6.
O único ponto crítico é (-6,2).

Passo 3

Formemos a Hessiana H de f:
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 6\\\\ 6 & 20 \end{pmatrix}.
Os menores principais são \Delta_1=2>0 e \Delta_2=\det H=2\cdot20-6\cdot6=40-36=4>0.
Como ambos são positivos, H é positiva definida e o ponto crítico é um mínimo local.]

Passo 4

Valor de f em (-6,2):
f(-6,2)=(-6)^2+6\cdot(-6)\cdot2+10\cdot2^2-4\cdot2+4 =36-72+40-8+4=0.
Geometricamente, f é um paraboloide elíptico voltado para cima, com “boca” centrada em (-6,2,0).

Resposta

O único ponto crítico é (-6,2), que é um mínimo local com valor f(-6,2)=0.
Não há máximos locais nem pontos de sela.

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