Seja
Determine o domínio e a imagem de (F] e faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
Queremos determinar o domínio, a imagem de nos quais a função está definida) e de imagem (todos os valores que assume), examinando cada ramo da definição por partes.

Passo 2

O domínio de F é o conjunto de todos os x em que alguma das três regras se aplica. Como há uma regra para x<3, uma em x=3 e outra em x>3, F está definida para todos os números reais.
Domínio(F)=R í

Passo 3

Analisando o ramo x<3:
F(x)=x-1, x<3
Essa é uma reta de inclinação 1 definida em l(-infty,3r). Quando xto-infty, x-1to-infty. Quando xto3^-, x-1to2^-, mas não atinge 2.
Logo, a imagem deste ramo é
(-infty,2)

Passo 4

No ponto x=3 a função vale
F(3)=5
Isso adiciona o valor isolado 5 à imagem.

Passo 5

Analisando o ramo x>3:
F(x)=2x+1, x>3
É uma reta de inclinação 2. Quando xto3^+, 2x+1to7^+ sem atingir 7. Quando xto+infty, 2x+1to+infty.
Logo, a imagem deste ramo é
(7,infty)

Passo 6

Unindo os três pedaços temos a imagem completa de F:
Ima>=m(F)=(-infty,2),cup5,cup(7,infty)

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Para x<3, desenhe a reta y=x-1 até, mas sem incluir, o ponto (3,2) (marcado com círculo aberto).
  • Em x=3, coloque um ponto cheio em (3,5).
  • Para x>3, desenhe a reta y=2x+1 começando logo acima de (3,7), sem incluir (3,7) (círculo aberto), e estendendo para a direita.

Resposta

Domínio: R
Imagem: (-infty,2),cup5,cup(7,infty)
Gráfico: reta y=x-1 para x<3 (círculo aberto em (3,2)), ponto cheio em (3,5) e reta y=2x+1 para x>3 (círculo aberto em (3,7)).

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