Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
, onde
é o arco da espiral logarítmica
desde o ponto
até o ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de primeira espécie
sobre o arco da espiral logarítmica definido em coordenadas polares por
do ponto
(onde
) até o ponto
(origem,
). Vamos usar a parametrização por
e a fórmula de integrais curvilíneas em coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares, cada ponto de
é dado por
pois em
temos
(início) e quando
vem
(origem).
Passo 3
O integrando em termos de
fica
Passo 4
O elemento de comprimento de arco em função de
é
Passo 5
Substituindo na integral,
Como
temos