Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
integralC(x^2+y^2)^2 d s, onde C é o arco da espiral logarítmica r=a e^m theta(m>0) desde o ponto A(0, a) até o ponto O(-infty, 0).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de primeira espécie
integralC(x^2+y^2)^2,ds
sobre o arco da espiral logarítmica definido em coordenadas polares por
r=a,e^mtheta, m>0,
do ponto A (onde r=a) até o ponto O (origem, rto0). Vamos usar a parametrização por theta e a fórmula de integrais curvilíneas em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, cada ponto de C é dado por
r(theta)=a,e^mtheta, thetain(-infty,0],
pois em theta=0 temos r=a (início) e quando thetato-infty vem rto0 (origem).

Passo 3

O integrando em termos de r fica
x^2+y^2=r^2 Longrightarrow (x^2+y^2)^2=r^4

Passo 4

O elemento de comprimento de arco em função de theta é
ds =raizgl(drdthetagr)^2+r^2;dtheta =raiz(m,r)^2+r^2;dtheta =rraiz1+m^2;dtheta

Passo 5

Substituindo na integral,
integralC(x^2+y^2)^2,ds =integral-infty^0r^4,l(rraiz1+m^2r),dtheta =raiz1+m^2integral-infty^0a^5e^5mtheta,dtheta
Como
integral-infty^0e^5mtheta,dtheta =15ml[e^5mthetar]-infty^0 =15m,
temos
integralC(x^2+y^2)^2,ds =raiz1+m^2;a^5;15m =a^5raiz1+m^25m

Resposta

a^5raiz1+m^25m

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