Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
integralC(x+y) d s, onde C é o laço direito da lemniscata r=a^2 cos (2 theta).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de primeira espécie
integralC(x+y),ds
onde C é o laço direito da lemniscata dada em coordenadas polares por
r^2 = a^2cos(2theta)
Para resolver, vamos parametrizar C em função de theta, usar x=rcostheta, y=rsintheta e aplicar a fórmula do elemento de arco
ds = raizr^2 + l(drdthetar)^2;dtheta

Passo 2

No laço direito temos cos(2theta)>=0, logo theta varia de -tfracpi4 a tfracpi4 e
r(theta)=araizcos(2theta)
Desse modo
x+y = rcostheta + rsintheta = araizcos(2theta)l(costheta+sinthetar)
Agora calculamos
drdtheta = a,ddthetaraizcos(2theta) = a;-sin(2theta)raizcos(2theta),
e portanto
l(drdthetar)^2 = a^2,sin^2(2theta)cos(2theta)

Passo 3

Substituindo em ds:
r^2 + l(drdthetar)^2 = a^2cos(2theta) + a^2,sin^2(2theta)cos(2theta) = a^2l(cos^2(2theta)+sin^2(2theta)r)cos(2theta) = a^2cos(2theta)
Logo
ds = raiza^2cos(2theta),dtheta = araizcos(2theta),dtheta

Passo 4

O integrando fica
(x+y),ds = l[araizcos(2theta)(costheta+sintheta)r], araizcos(2theta),dtheta = a^2l(costheta+sinthetar),dtheta
Portanto
integralC(x+y),ds =integral-pi/4^pi/4a^2l(costheta+sinthetar),dtheta

Passo 5

Integramos diretamente:
integralcostheta,dtheta = sintheta, integralsintheta,dtheta = -costheta,
então
integral-pi/4^pi/4(costheta+sintheta),dtheta =l[sintheta - costhetar]-pi/4^pi/4 =l(0r)-l(-raiz2r) =raiz2
Multiplicando por a^2 dá o resultado final.

Resposta

integralC(x+y),ds = a^2raiz2

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