Calcule os seguintes limites:
lim x 4(2 x^4-3 x^2+2 x-1) & lim x 2 x+12 x+3 lim x 3 / 2 raiz8 t^3-274 t^2-9 & lim x 1 raizx-1x-1 lim x pi cos (2 x)+1 & lim h 0 raiz[3]h+1-1h

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esses limites! O exercício pede para calcular seis limites diferentes. O conteúdo envolve Limites, que é uma parte fundamental do cálculo, e vamos precisar usar técnicas como substituição direta, fatoração, racionalização e algumas identidades trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro Limite:
limx 4 (2x^4 - 3x^2 + 2x - 1)
Como resolver:
Como essa é uma função polinomial, ela é contínua em todos os pontos. Isso significa que podemos simplesmente substituir o valor de x pelo número para encontrar o limite.
Aplicando a substituição:
2(4)^4 - 3(4)^2 + 2(4) - 1 = 2(256) - 3(16) + 8 - 1 = 512 - 48 + 8 - 1 = 471

Passo 3

Segundo Limite:
limx 2 x + 12x + 3
Como resolver:
Novamente, essa é uma função racional que é contínua onde o denominador não é zero. Vamos verificar se o denominador é diferente de zero quando x = 2 :
2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 neq 0
Então, podemos substituir diretamente.
Aplicando a substituição:
2 + 12(2) + 3 = 37

Passo 4

Terceiro Limite:
limx 32 raiz8t^3 - 274t^2 - 9
Obs: Parece que há um pequeno erro no enunciado original: a variável dentro da função deve ser a mesma que está se aproximando. Vamos assumir que t = x .
Como resolver:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz.
8x^3 - 274x^2 - 9
Observe que 8x^3 - 27 é uma diferença de cubos e 4x^2 - 9 é uma diferença de quadrados.
Fatorando:
8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)
4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)
Agora, substituindo de volta na expressão:
raiz(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)(2x - 3)(2x + 3) = raiz4x^2 + 6x + 92x + 3
Cancelamos (2x - 3) já que x 32 e 2x - 3 0 , mas após a simplificação, a expressão é contínua.
Aplicando a substituição:
raiz4(32)^2 + 6(32) + 92(32) + 3 = raiz4(94) + 9 + 93 + 3 = raiz9 + 9 + 96 = raiz276 = raiz92 = 3raiz2 = 3raiz22

Passo 5

Quarto Limite:
limx 1 raizx - 1x - 1
Como resolver:
Ao substituir x = 1 , obtemos 00 , que é uma forma indeterminada. Vamos racionalizar o numerador para simplificar.
Racionalizando:
Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é raizx + 1 :
raizx - 1x - 1 cdot raizx + 1raizx + 1 = (raizx)^2 - 1^2(x - 1)(raizx + 1) = x - 1(x - 1)(raizx + 1) = 1raizx + 1
Agora, podemos substituir x = 1 :
1raiz1 + 1 = 11 + 1 = 12

Passo 6

Quinto Limite:
limx pi cos(2x) + 1
Como resolver:
A função cos(2x) é contínua, então podemos substituir diretamente x = pi :
cos(2pi) + 1 = cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2

Passo 7

Sexto Limite:
limh 0 raiz[3]h + 1 - 1h
Como resolver:
Esse limite se assemelha à definição da derivada de f(h) = raiz[3]h + 1 em h = 0 . Vamos usar a derivada ou uma expansão em série para resolver.
Usando a definição da derivada:
A derivada de f(h) = raiz[3]h + 1 é:
f'(h) = 13(h + 1)^-2/3
Avaliado em h = 0 :
f'(0) = 13(1)^-2/3 = 13
Portanto,
limh 0 raiz[3]h + 1 - 1h = 13

Resposta

Os limites calculados são:
  1. limx 4 (2x^4 - 3x^2 + 2x - 1) = 471
  2. limx 2 x + 12x + 3 = 37
  3. limx 32 raiz8x^3 - 274x^2 - 9 = 3raiz22
  4. limx 1 raizx - 1x - 1 = 12
  5. limx pi cos(2x) + 1 = 2
  6. limh 0 raiz[3]h + 1 - 1h = 13

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