Beleza, vamos resolver juntos esses limites! O exercício pede para calcular seis limites diferentes. O conteúdo envolve Limites, que é uma parte fundamental do cálculo, e vamos precisar usar técnicas como substituição direta, fatoração, racionalização e algumas identidades trigonométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro Limite:
Como resolver:
Como essa é uma função polinomial, ela é contínua em todos os pontos. Isso significa que podemos simplesmente substituir o valor de pelo número para encontrar o limite.
Aplicando a substituição:
Passo 3
Segundo Limite:
Como resolver:
Novamente, essa é uma função racional que é contínua onde o denominador não é zero. Vamos verificar se o denominador é diferente de zero quando :
Então, podemos substituir diretamente.
Aplicando a substituição:
Passo 4
Terceiro Limite:
Obs: Parece que há um pequeno erro no enunciado original: a variável dentro da função deve ser a mesma que está se aproximando. Vamos assumir que .
Como resolver:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz.
Observe que é uma diferença de cubos e é uma diferença de quadrados.
Fatorando:
Agora, substituindo de volta na expressão:
Cancelamos já que e , mas após a simplificação, a expressão é contínua.
Aplicando a substituição:
Passo 5
Quarto Limite:
limx 1 raizx - 1x - 1
Como resolver:
Ao substituir x = 1 , obtemos 00 , que é uma forma indeterminada. Vamos racionalizar o numerador para simplificar.
Racionalizando:
Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é raizx + 1 :
Como resolver:
A função cos(2x) é contínua, então podemos substituir diretamente x = pi :
cos(2pi) + 1 = cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2
Passo 7
Sexto Limite:
limh 0 raiz[3]h + 1 - 1h
Como resolver:
Esse limite se assemelha à definição da derivada de f(h) = raiz[3]h + 1 em h = 0 . Vamos usar a derivada ou uma expansão em série para resolver.