Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
integralC raizx^2+y^2 d s, onde C é o arco da evolvente da circunferência x=a(cos t+ t sen t), y=a(sen t-t cos t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de primeira espécie
integralCraizx^2+y^2,ds
onde C é o arco da evolvente da circunferência dada pela parametrização
x(t)=al(cos t + tsin tr), y(t)=al(sin t - tcos tr), 0<= t<= 2pi
Para resolver, vamos:
  1. Expressar raizx^2+y^2 em função de t.
  2. Calcular ds=l|l(x'(t),y'(t)r)r|,dt.
  3. Montar a integral integral0^2piraizx(t)^2+y(t)^2;|r'(t)|,dt e calcular por substituição.

Passo 2

Calculamos a distância radial
x(t)^2+y(t)^2 =a^2l[l(cos t+tsin tr)^2+l(sin t-tcos tr)^2r]
Expandindo e somando os dois quadrados, os termos mistos se cancelam e obtemos
l(cos t+tsin tr)^2+l(sin t-tcos tr)^2 =cos^2t+sin^2t +t^2(sin^2t+cos^2t) =1+t^2
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raizx(t)^2+y(t)^2 =araiz1+t^2

Passo 3

Agora derivamos x(t) e y(t):
x'(t)=al(-sin t +sin t +tcos tr)=a,tcos t, y'(t)=al(cos t -cos t +tsin tr)=a,tsin t
A seguir,
|r'(t)| =raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2 =araizt^2cos^2t+t^2sin^2t =a,t
Como t>=0 no intervalo [0,2pi], não precisamos do valor absoluto.

Passo 4

Substituindo em integralCraizx^2+y^2,ds temos
integral0^2pi l[araiz1+t^2r]cdotl[a,tr];dt =a^2integral0^2pitraiz1+t^2;dt
Para calcular
integral traiz1+t^2,dt,
fazemos u=1+t^2, du=2t,dt de onde t,dt=tfrac12,du. Então
integral traiz1+t^2,dt =tfrac12integral u^1/2,du =tfrac12cdottfrac23u^3/2 =tfrac13(1+t^2)^3/2

Passo 5

A integral definida de 0 a 2pi fica
integral0^2pitraiz1+t^2,dt =13l[(1+(2pi)^2)^3/2-(1+0)^3/2r] =13l[(1+4pi^2)^3/2-1r]
Multiplicando por a^2, obtemos a resposta final.

Resposta

boxed integralCraizx^2+y^2,ds =a^23l[(1+4pi^2)^3/2-1r]

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