Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
, onde
é o arco da evolvente da circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de primeira espécie
onde
é o arco da evolvente da circunferência dada pela parametrização
Para resolver, vamos:
- Expressar
em função de . - Calcular
. - Montar a integral
e calcular por substituição.integral0^2piraizx(t)^2+y(t)^2;|r'(t)|,dt
Passo 2
Calculamos a distância radial
Expandindo e somando os dois quadrados, os termos mistos se cancelam e obtemos
Logo
Passo 3
Agora derivamos
x(t) e
y(t) :
A seguir,
Como
t>=0 no intervalo
[0,2pi] , não precisamos do valor absoluto.
Passo 4
Substituindo em
integralCraizx^2+y^2,ds temos
Para calcular
fazemos
u=1+t^2 ,
du=2t,dt de onde
t,dt=tfrac12,du . Então
Passo 5
A integral definida de
0 a
2pi fica
Multiplicando por
a^2 , obtemos a resposta final.