Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário:
integral0^2(x+3 raiz4-x^2) d x

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral
integral0^2l(x + 3raiz4 - x^2r),dx
que corresponde à soma de duas áreas: a área sob a reta y = x de x=0 a x=2 e a área sob a curva y = 3raiz4 - x^2 no mesmo intervalo. Usaremos fórmula de área de triângulo para a parte linear e fórmula de quarto de círculo (com fator 3) para a parte com raiz.

Passo 2

Separamos a integral em duas:
integral0^2x,dx ;+; 3integral0^2raiz4-x^2,dx

Passo 3

Para a primeira parte, integral0^2x,dx é a área de um triângulo de base 2 e altura 2:
integral0^2x,dx = basetimesa<ura2 = 2cdot22 = 2

Passo 4

Para a segunda parte, integral0^2raiz4-x^2,dx é a área de um quarto de círculo de raio 2:
integral0^2raiz4-x^2,dx = picdot2^24 = pi

Passo 5

Como a função é 3raiz4-x^2, multiplicamos essa área por 3:
3integral0^2raiz4-x^2,dx = 3pi

Passo 6

Somando as duas contribuições, a integral original vale
2 + 3pi

Resposta

integral0^2l(x + 3raiz4 - x^2r),dx = 2 + 3pi

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