Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário:
integral1^3|3 x-4| d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular
integral1^3 |3x - 4|;dx.
O conteúdo aqui é a integração de valor absoluto, que se faz dividindo em regiões onde 3x-4 é positivo ou negativo e em cada região usar geometria para achar a área sob a curva.

Passo 2

Determinamos onde 3x-4 muda de sinal, resolvendo
3x-4 = 0 Longrightarrow x = 43
Assim dividimos a integral em
integral1^3 |3x-4|;dx = integral1^4/3 (4-3x);dx + integral4/3^3 (3x-4);dx,
pois para x<4/3 temos 3x-4<0 e para x>4/3 temos 3x-4>0.

Passo 3

Esboço da região no plano xy:
  • A reta y=3x-4 intercepta o eixo x em x=4/3.
  • De x=1 até x=4/3, 3x-4 fica abaixo do eixo e o valor absoluto é 4-3x, gerando um triângulo de vértices l(1,0r), l(1,1r) e l(4/3,0r).
  • De x=4/3 até x=3, 3x-4 fica acima do eixo, gerando um triângulo de vértices l(4/3,0r), l(3,0r) e l(3,5r).

Passo 4

Cálculo da área do primeiro triângulo ( 1<= x<=4/3):
  • Base =tfrac43-1=tfrac13.
  • Altura =|3cdot1-4|=1.
    Pela fórmula da área de triângulo,
Área1 =12times13times1 =16 Á

Passo 5

Cálculo da área do segundo triângulo ( 4/3<= x<=3):
  • Base =3-tfrac43=tfrac53.
  • Altura =3cdot3-4=5.
    Logo
Área2 =12times53times5 =256 Á

Passo 6

Somando as duas áreas obtém-se
integral1^3|3x-4|;dx =Área1 + Área2 =16 + 256 =266 =133 ÁÁ

Resposta

133

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