Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular
.
O conteúdo aqui é a integração de valor absoluto, que se faz dividindo em regiões onde é positivo ou negativo e em cada região usar geometria para achar a área sob a curva.
O conteúdo aqui é a integração de valor absoluto, que se faz dividindo em regiões onde
Passo 2
Determinamos onde
muda de sinal, resolvendo
Assim dividimos a integral em
pois para
temos
e para
temos
.
Passo 3
Esboço da região no plano
:
- A reta
intercepta o eixo em . - De
até , fica abaixo do eixo e o valor absoluto é , gerando um triângulo de vértices , e . - De
até , fica acima do eixo, gerando um triângulo de vértices , e .
Passo 4
Cálculo da área do primeiro triângulo (
):
- Base
. - Altura
.
Pela fórmula da área de triângulo,
Passo 5
Cálculo da área do segundo triângulo (
):
- Base
. - Altura
.
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Passo 6
Somando as duas áreas obtém-se