Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário:
integral-2^2|x^2-1| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-2^2l|x^2-1r|,dx
usando a interpretação geométrica da integral como “área com sinal” entre a curva y=x^2-1 e o eixo x. Para isso precisamos:
  1. Identificar onde x^2-1 muda de sinal (raízes em -1 e 1).
  2. Esboçar a região entre a curva e o eixo x.
  3. Escrever a integral em partes sem o valor absoluto.
  4. Calcular cada parte.

Passo 2

As raízes de x^2-1=0 são x=-1 e x=1.
  • Em [-2,-1] e em [1,2] temos x^2-1>=0, logo lvert x^2-1rvert = x^2-1.
  • Em [-1,1] temos x^2-1<=0, logo lvert x^2-1rvert = -(x^2-1)=1-x^2.
    Assim
integral-2^2l|x^2-1r|,dx = integral-2^-1(x^2-1),dx + integral-1^1(1 - x^2),dx + integral1^2(x^2-1),dx

Passo 3

Calculemos a parte integral (x^2-1),dx. Um antiderivado é
x^33-x
Logo
integral1^2(x^2-1),dx = l[x^33-xr]1^2 = l(83-2r) - l(13-1r) = 23-l(-tfrac23r) = 43
Pelo mesmo raciocínio (simetria da função par x^2-1),
integral-2^-1(x^2-1),dx = 43

Passo 4

Agora a parte integral-1^1(1-x^2),dx. Como 1-x^2 é função par,
integral-1^1(1-x^2),dx =2integral0^1(1-x^2),dx =2l[x-x^33r]0^1 =2l(1-13r) =43

Passo 5

Somando as três contribuições temos
43 + 43 + 43 = 4

Resposta

4

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