Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
, onde
é o primeiro arco da ciclóide
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de primeira espécie
em que
é o primeiro arco da ciclóide
com
variando de
a
.
Para resolver vamos usar a parametrização e a fórmula
Para resolver vamos usar a parametrização
Passo 2
Calcular
r'(t) e seu módulo:
logo
pois para
tin[0,2pi] temos
sin(t/2)>=0 .
Passo 3
Substituir na integral:
Passo 4
Usar a identidade
1-cos t=2sin^2(tfrac t2) :
então o integrando fica
Logo
Passo 5
Fazer a mudança de variável
u=tfrac t2 ,
dt=2,du , os limites vão de
u=0 a
u=pi :
Sabe-se que
logo o resultado é