Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
integralC y^2 d s, onde C é o primeiro arco da ciclóide x=a(t-sen t), y=a(1-cos t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de primeira espécie
integralC y^2,ds
em que C é o primeiro arco da ciclóide
x = al(t - sen tr), y = al(1 - cos tr),
com t variando de 0 a 2pi.
Para resolver vamos usar a parametrização r(t)=(x(t),y(t)) e a fórmula
integralC y^2,ds ;=;integralt0^t1 y(t)^2,llVert r'(t)rrVert,dt

Passo 2

Calcular r'(t) e seu módulo:
x'(t)=al(1-cos tr), y'(t)=asin t,
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llVert r'(t)rrVert = araiz(1-cos t)^2+sin^2 t = araiz2-2cos t =2asinl(tfrac t2r),
pois para tin[0,2pi] temos sin(t/2)>=0.

Passo 3

Substituir na integral:
y(t)^2 = a^2l(1-cos tr)^2,
integralCy^2,ds =integral0^2pia^2l(1-cos tr)^2cdot2asinl(tfrac t2r),dt =2a^3integral0^2pil(1-cos tr)^2sinl(tfrac t2r),dt

Passo 4

Usar a identidade 1-cos t=2sin^2(tfrac t2):
(1-cos t)^2 =4sin^4l(tfrac t2r),
então o integrando fica
2a^3cdot4sin^4l(tfrac t2r)sinl(tfrac t2r) =8a^3sin^5l(tfrac t2r)
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integralCy^2,ds =8a^3integral0^2pisin^5l(tfrac t2r),dt

Passo 5

Fazer a mudança de variável u=tfrac t2, dt=2,du, os limites vão de u=0 a u=pi:
8a^3integral0^2pisin^5l(tfrac t2r),dt =8a^3integral0^pisin^5(u),2,du =16a^3integral0^pisin^5(u),du
Sabe-se que
integral0^pisin^5(u),du=1615,
logo o resultado é
16a^3cdot1615=25615,a^3

Resposta

integralCy^2,ds = 25615,a^3

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