Calcule as seguintes integrais:
e) \int_{0}^{\pi / 3} \cos ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx.
O conteúdo é a integração de uma potência ímpar de cosseno. Vamos usar a identidade
\cos^{3}x=\cos x\,(1-\sin^{2}x)
e a substituição u=\sin x.

Passo 2

Escrevemos
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx =\int_{0}^{\pi/3}\cos x\,(1-\sin^{2}x)\,dx.
Com u=\sin x segue du=\cos x\,dx. Quando x=0, u=0; quando x=\pi/3, u=\sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2}. A integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}x\,dx =\int_{0}^{\sqrt3/2}(1-u^{2})\,du.

Passo 3

Integramos em u:
\int(1-u^{2})\,du = u-\frac{u^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliaremos de 0 a \tfrac{\sqrt3}{2}:
\Bigl(u-\frac{u^{3}}{3}\Bigr)\Big|_{0}^{\sqrt3/2} =\Bigl(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{(\sqrt3/2)^{3}}{3}\Bigr)-0 =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3/8}{3} =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{8} =\frac{3\sqrt3}{8}.

Resposta

\frac{3\sqrt3}{8}

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