Calcule as seguintes integrais:
g) \int \operatorname{sen}^{2} x \cos 2 x dx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}^2 x \,\cos 2x \,dx
Usaremos técnicas de integração em que aplicamos identidades trigonométricas de redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência
\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}.

Passo 3

Substituindo em \operatorname{sen}^2 x\cos 2x, o integrando fica
\operatorname{sen}^2 x\cos 2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\,\cos 2x = \frac{1}{2}\bigl(\cos 2x - \cos^2 2x\bigr).
Logo,
\int \operatorname{sen}^2 x\,\cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx - \frac{1}{2}\int \cos^2 2x\,dx.

Passo 4

Calculamos a primeira integral:
\int \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x.

Passo 5

Para a segunda, usamos
\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2},
então
\int \cos^2 2x\,dx = \int \frac{1 + \cos 4x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx + \frac{1}{2}\int \cos 4x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\operatorname{sen} 4x = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\operatorname{sen} 4x.

Passo 6

Substituindo os resultados em
\frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx - \frac{1}{2}\int \cos^2 2x\,dx
obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x}{2} + \frac{1}{8}\operatorname{sen} 4x\Bigr) = \frac{\operatorname{sen} 2x}{4} - \frac{x}{4} - \frac{\operatorname{sen} 4x}{16} + C.

Resposta

\int \operatorname{sen}^2 x\,\cos 2x\,dx = -\frac{x}{4} + \frac{\operatorname{sen} 2x}{4} - \frac{\operatorname{sen} 4x}{16} + C.

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