Calcule as seguintes integrais, deduzindo quais regras usar:
integral(3 x+1)^raiz2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral (3x+1)^raiz2,dx
Isso envolve integração de uma potência de uma função linear. Vamos usar substituição (inverter a regra da cadeia) e depois a fórmula
integral u^n,du = u^n+1n+1+C.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 3x + 1,
então
du = 3,dx Longrightarrow dx = 13,du
A integral original vira
integral (3x+1)^raiz2,dx = integral u^raiz2;13,du = 13integral u^raiz2,du

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência:
integral u^raiz2,du = u^raiz2+1raiz2+1 + C
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13integral u^raiz2,du = 13cdotu^raiz2+1raiz2+1 + C = u^raiz2+13(raiz2+1) + C

Passo 4

Voltando à variável x com u=3x+1, obtemos
integral (3x+1)^raiz2,dx = (3x+1)^raiz2+13(raiz2+1) + C

Resposta

(3x+1)^raiz2+13(raiz2+1) + C

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