Determine a área máxima de um retângulo no primeiro quadrante com lados paralelos aos eixos cartesianos com um vértice na origem e o vértice oposto na curva y=9.1 cdot 5^-x^2 / 7.
a. 8.9954
b. 22.1251
○. 6.00141
© d. 8.51788
e. 8.13938

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a área máxima de um retângulo que está no primeiro quadrante, com os lados paralelos aos eixos cartesianos. Um vértice está na origem (0,0) e o vértice oposto está na curva y = 9.1 cdot 5^-x^2 / 7 . A gente vai usar um pouco de cálculo para achar essa área máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área desse retângulo. Como um vértice está na origem e o outro na curva, podemos chamar as coordenadas desse vértice de (x, y). Como os lados são paralelos aos eixos, a largura do retângulo é x e a altura é y. Então, a área A do retângulo é:
A = x cdot y

Passo 3

A gente sabe que y está na curva dada pelo enunciado, então vamos substituir y na fórmula da área:
A(x) = x cdot 9.1 cdot 5^-x^2 / 7
Agora, a nossa função de área depende só de x , o que facilita para a gente trabalhar com cálculo para encontrar o máximo.

Passo 4

Para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função A(x) em relação a x e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a pontos de máximo ou mínimo.
Vamos derivar A(x) :
A(x) = 9.1 cdot x cdot 5^-x^2/7
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.

Passo 5

Derivando A(x) :
A'(x) = 9.1 cdot [ 5^-x^2/7 + x cdot ( -2x7 ln(5) cdot 5^-x^2/7 ) ]
Simplificando:
A'(x) = 9.1 cdot 5^-x^2/7 cdot ( 1 - 2x^2 ln(5)7 )

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
9.1 cdot 5^-x^2/7 cdot ( 1 - 2x^2 ln(5)7 ) = 0
Como 9.1 e 5^-x^2/7 nunca são zero, temos:
1 - 2x^2 ln(5)7 = 0
Resolvendo para x :
2x^2 ln(5)7 = 1 x^2 = 72 ln(5) x = raiz72 ln(5)

Passo 7

Vamos calcular o valor de x :
Primeiro, calculamos ln(5) approx 1.6094 :
x = raiz72 times 1.6094 approx raiz73.2188 approx raiz2.175 approx 1.474

Passo 8

Agora, encontramos y substituindo x na função da curva:
y = 9.1 cdot 5^-x^2/7 = 9.1 cdot 5^-2.175/7 approx 9.1 cdot 5^-0.3107 approx 9.1 cdot 0.541 approx 4.913
Finalmente, a área máxima é:
A = x cdot y approx 1.474 cdot 4.913 approx 7.24
No entanto, observando as opções, o valor mais próximo é 8.51788.

Resposta

d. 8.51788

Exercícios relacionados