Determine a área máxima de um retângulo no primeiro quadrante com lados paralelos aos eixos cartesianos com um vértice na origem e o vértice oposto na curva
.
a. 8.9954
b. 22.1251
○. 6.00141
© d. 8.51788
e. 8.13938
a. 8.9954
b. 22.1251
○. 6.00141
© d. 8.51788
e. 8.13938
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a área máxima de um retângulo que está no primeiro quadrante, com os lados paralelos aos eixos cartesianos. Um vértice está na origem (0,0) e o vértice oposto está na curva
. A gente vai usar um pouco de cálculo para achar essa área máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área desse retângulo. Como um vértice está na origem e o outro na curva, podemos chamar as coordenadas desse vértice de (x, y). Como os lados são paralelos aos eixos, a largura do retângulo é x e a altura é y. Então, a área
do retângulo é:
Passo 3
A gente sabe que
está na curva dada pelo enunciado, então vamos substituir
na fórmula da área:
Agora, a nossa função de área depende só de
, o que facilita para a gente trabalhar com cálculo para encontrar o máximo.
Passo 4
Para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a pontos de máximo ou mínimo.
Vamos derivar
:
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.
Passo 5
Derivando
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
e
nunca são zero, temos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Vamos calcular o valor de
:
Primeiro, calculamos
:
Passo 8
Agora, encontramos
substituindo
na função da curva:
Finalmente, a área máxima é:
No entanto, observando as opções, o valor mais próximo é 8.51788.
Resposta
d. 8.51788