Calcule as seguintes integrais pela regra da integração por partes (lembre-se do LIATE):
integral(x^2+1) e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral l(x^2+1r)e^-x,dx
usando a regra de integração por partes. O conteúdo aqui é produto de polinomial por exponencial e, seguindo o critério LIATE, escolhemos u como a parte polinomial e dv como a parte exponencial.

Passo 2

Separemos a integral em duas:
integral l(x^2+1r)e^-x,dx = integral x^2e^-x,dx + integral e^-x,dx

Passo 3

Calculemos primeiro
I = integral x^2e^-x,dx
Aplicando integração por partes com
u = x^2, dv = e^-xdx,
temos
du = 2x,dx
e
v = -e^-x.
Logo,
I = -,x^2e^-x + integral 2x,e^-x,dx = -,x^2e^-x + 2integral x,e^-x,dx

Passo 4

Agora calculemos
J=integral x,e^-x,dx
por partes com
u = x, dv = e^-xdx,
então
du = dx
e
v = -e^-x.
Obtemos
J = -,x,e^-x + integral e^-x,dx = -,x,e^-x - e^-x

Passo 5

Voltemos a I. Substituindo J em I:
I = -,x^2e^-x + 2l(-,x,e^-x-e^-xr) = -l(x^2+2x+2r)e^-x

Passo 6

Finalmente,
integral l(x^2+1r)e^-x,dx = I + integral e^-x,dx = -l(x^2+2x+2r)e^-x - e^-x + C = -l(x^2+2x+3r)e^-x + C

Resposta

-l(x^2+2x+3r)e^-x + C

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