Calcule as seguintes integrais, deduzindo quais regras usar:
integral x ln (1+x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral x ln(1+x),dx
O conteúdo principal aqui é a integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du,
e depois vamos precisar de divisão de polinômios para simplificar o integral que sobrar.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(1+x), dv = x,dx
Então
du = 11+x,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x ln(1+x),dx = x^22ln(1+x) - integral x^22,dx1+x

Passo 4

Para o segundo integral, fazemos divisão de polinômios em
x^21+x = x - 1 + 11+x,
pois (x-1)(1+x)=x^2-1 e sobra 1. Assim,
integral x^22(1+x),dx = 12 integrall(x - 1 + 11+xr)dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
12l(integral x,dx - integral 1,dx + integral 11+x,dxr) = 12l(x^22 - x + ln(1+x)r)

Passo 6

Substituindo de volta em (3):
integral x ln(1+x),dx = x^22ln(1+x) - 12l(x^22 - x + ln(1+x)r) + C
Desenvolvendo e agrupando,
integral x ln(1+x),dx = x^22ln(1+x) - x^24 + x2 - 12ln(1+x) + C = x^2-12ln(1+x) - x^24 + x2 + C

Resposta

integral x ln(1+x),dx = x^2-12ln(1+x) - x^24 + x2 + C

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