Para que a função f(x)=22 H x^33+815 raiz7 x^5 / 2+9 x^22 tenha concavidade para cima em algum intervalo contendo o ponto x=47, é necessário que H satisfaça:
a. H<-4459176
b. H<-91176
c. H>-91176
d. H>-4459176
e. H>-9144

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual valor de H faz com que a função f(x) = 22 H x^33 + 815 raiz7 x^5/2 + 9 x^22 tenha concavidade para cima em algum intervalo que inclua o ponto x = 47 . Para isso, vamos precisar trabalhar com derivadas, especificamente a segunda derivada da função, já que a concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ter concavidade para cima em um intervalo. Isso acontece quando a segunda derivada da função é positiva nesse intervalo. Ou seja, precisamos encontrar f''(x) > 0 para x próximo a 47 .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de f(x) . A derivada de x^n em relação a x é n x^n-1 . Aplicando isso:
f'(x) = 22 H3 cdot 3x^2 + 815 raiz7 cdot 52 x^3/2 + 92 cdot 2x
Simplificando:
f'(x) = 22 H x^2 + 815 raiz7 cdot 52 x^3/2 + 9x
f'(x) = 22 H x^2 + 43 raiz7 x^3/2 + 9x

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada f''(x) derivando f'(x) :
f''(x) = 22 H cdot 2x + 43 raiz7 cdot 32 x^1/2 + 9
Simplificando:
f''(x) = 44 H x + 2 raiz7 x^1/2 + 9

Passo 5

Queremos que a concavidade seja para cima no ponto x = 47 . Então, vamos substituir x = 47 na expressão de f''(x) e exigir que seja maior que zero:
f''(47) = 44 H cdot 47 + 2 raiz7 (47)^1/2 + 9 > 0

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. 44 H cdot 47 = 176 H7
  2. (47)^1/2 = 2raiz7
    Então, 2 raiz7 cdot 2raiz7 = 4
  3. O último termo é 9.
Agora, substituindo de volta:
176 H7 + 4 + 9 > 0
176 H7 + 13 > 0

Passo 7

Vamos isolar H :
176 H7 > -13
Multiplicando ambos os lados por 7:
176 H > -91
Dividindo ambos os lados por 176:
H > -91176

Resposta

A alternativa correta é a c. H > -91176 .

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