Para que a função
tenha concavidade para cima em algum intervalo contendo o ponto
, é necessário que
satisfaça:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual valor de
faz com que a função
tenha concavidade para cima em algum intervalo que inclua o ponto
. Para isso, vamos precisar trabalhar com derivadas, especificamente a segunda derivada da função, já que a concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ter concavidade para cima em um intervalo. Isso acontece quando a segunda derivada da função é positiva nesse intervalo. Ou seja, precisamos encontrar
para
próximo a
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
derivando
:
Simplificando:
Passo 5
Queremos que a concavidade seja para cima no ponto
. Então, vamos substituir
na expressão de
e exigir que seja maior que zero:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
-
-
Então,
-
O último termo é 9.
Agora, substituindo de volta:
Passo 7
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por 7:
Dividindo ambos os lados por 176:
Resposta
A alternativa correta é a c.
.