Calcule as seguintes integrais, deduzindo quais regras usar:
integral e^arctg y1+y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^arctan y1+y^2,dy
Percebemos que no denominador temos 1+y^2, que é exatamente a derivada de arctan y. Isso indica uso de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = arctan y
Como
dudy = 11+y^2,
temos
du = 11+y^2,dy Longrightarrow dy1+y^2 = du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral e^arctan y1+y^2,dy = integral e^u,du
Agora basta integrar e^u.

Passo 4

A integral de e^u é
integral e^u,du = e^u + C
Voltando à variável y, fica
e^u + C = e^arctan y + C

Resposta

integral e^arctan y1+y^2,dy = e^arctan y + C

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