Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
integral x^2-5 x+16(2 x+1)(x-2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2,dx
usando a técnica de frações parciais.
Conteúdo: reconhecer que o denominador é produto de um fator linear simples (2x+1) e um fator linear repetido (x-2)^2, e decompor a função racional em somatório de frações mais simples.

Passo 2

Assumimos a forma da decomposição:
x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2 =A2x+1+Bx-2+C(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x-2)^2, obtemos
x^2-5x+16 = A(x-2)^2 ;+; B(2x+1)(x-2);+;C(2x+1)

Passo 3

Expandindo e coletando termos em potências de
Igualando aos coeficientes de , temos o sistema
Resolvendo:
  • Da primeira: , depois e .

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2,dx = integrall(32x+1-1x-2+2(x-2)^2r),dx
Agora integramos cada parcela usando:
integraldxax+b=1alnl|ax+br|, integral(x-2)^-2dx=-(x-2)^-1
Logo,
integral32x+1,dx = 32lnl|2x+1r|, integral-1x-2,dx = -lnl|x-2r|, integral2(x-2)^2,dx = -2x-2

Resposta

integral x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2,dx = 32lnl|2x+1r| - lnl|x-2r| - 2x-2 + C

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