Calcule as seguintes integrais, deduzindo quais regras usar:
integral t cos ^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral t cos^2t,dt
Para resolver, vamos usar duas ideias principais:
  1. A identidade de redução de potência para cos^2t.
  2. O método de integração por partes.

Passo 2

Usamos a identidade
cos^2t = 1+cos(2t)2
Substituindo na integral, temos
integral t cos^2t,dt = integral t 1+cos(2t)2,dt = 12integral t,dt + 12integral tcos(2t),dt

Passo 3

A primeira integral é imediata:
12integral t,dt = 12,t^22 = t^24

Passo 4

Para a segunda integral,
12integral tcos(2t),dt,
aplicamos integração por partes escolhendo
u = t, dv = cos(2t),dt
Então
du = dt, v = integral cos(2t),dt = sin(2t)2
Logo
integral tcos(2t),dt = u,v - integral v,du = tcdotsin(2t)2 - integral sin(2t)2,dt
E
integral sin(2t),dt = -cos(2t)2,
portanto
integral tcos(2t),dt = tsin(2t)2 + 12cdotcos(2t)2 = tsin(2t)2 + cos(2t)4
Multiplicando por tfrac12
12integral tcos(2t),dt = tsin(2t)4 + cos(2t)8

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
integral tcos^2t,dt = t^24 + l(tsin(2t)4 + cos(2t)8r) + C

Resposta

integral tcos^2t,dt = t^24 + tsin(2t)4 + cos(2t)8 + C

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