Calcule as seguintes integrais pela regra da substituição trigonométrica:
integral 1x^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^2,raiz4 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral, que envolve raiza^2-x^2 no denominador, sugere a troca
x = asintheta,
aqui com a=2. Vamos usar essa ideia e depois voltar à variável x.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 2sintheta,
temos
dx = 2costheta,dtheta, raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta

Passo 3

Substituindo em integral 1x^2,raiz4 - x^2,dx obtemos
integral 1(2sintheta)^2,(2costheta);(2costheta,dtheta) = integral 14sin^2theta,dtheta = 14,integral csc^2theta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
integral csc^2theta,dtheta = -cottheta + C
Logo,
14,integral csc^2theta,dtheta = -14,cottheta + C

Passo 5

Faltam voltar para x. Como x=2sintheta, então
sintheta = x2, costheta = raiz4 - x^22,
e
cottheta = costhetasintheta = raiz4 - x^2/2x/2 = raiz4 - x^2x
Substituindo em -tfrac14cottheta resulta
-14,raiz4 - x^2x + C = -raiz4 - x^24,x + C

Resposta

integral 1x^2,raiz4 - x^2,dx = -raiz4 - x^24,x + C

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