Calcule as seguintes integrais, deduzindo quais regras usar:
integral 1x raiz4 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x,raiz4x+1,dx
O conteúdo principal aqui é usar mudança de variável (substituição) para simplificar a raiz, e depois aplicar frações parciais para integrar a expressão resultante.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raiz4x+1
Logo
u^2 = 4x+1 Longrightarrow x = u^2-14,
e
dx = 14,2u,du = u2,du

Passo 3

Substituímos x, raiz4x+1=u e dx na integral:
integral 1x,raiz4x+1,dx = integral 1l(u^2-14r),u,u2,du = integral 4u(u^2-1);u2,du = integral 2u^2-1,du

Passo 4

Para integrar integral 2u^2-1,du usamos frações parciais. Note que
1u^2-1 = 12l(1u-1-1u+1r)
Assim
integral 2u^2-1,du = 2integral 1u^2-1,du = 2integral 12l(1u-1-1u+1r)du = integral l(1u-1-1u+1r)du
e isso dá
lnl|u-1r| - lnl|u+1r| + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=raiz4x+1, o resultado final é
ln!gl|raiz4x+1-1raiz4x+1+1gr| + C

Resposta

integral 1x,raiz4x+1,dx = ln!gl|raiz4x+1-1raiz4x+1+1gr| + C

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