Calcule as seguintes integrais, deduzindo quais regras usar:
integral e^2 x1+e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^2x1+e^x,dx
O conteúdo principal aqui é integração por substituição simples, pois vemos uma função composta envolvendo e^x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^x, dt = e^x,dx, e^2x = t^2
Então
dx = dtt
e a integral vira
integral e^2x1+e^x,dx = integral t^21+t,dtt = integral t1+t,dt

Passo 3

Para simplificar dfract1+t, fazemos a divisão polinomial:
t1+t = 1 - 11+t
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integral t1+t,dt = integral 1,dt - integral 11+t,dt = t - lnlvert 1+trvert + C

Passo 4

Como t=e^x>0, podemos remover as barras de valor absoluto em ln. Substituindo de volta:
t - lnlvert1+trvert + C = e^x - ln(1+e^x) + C
Uma rápida verificação pela derivada confirma que
ddxl(e^x - ln(1+e^x)r) = e^x - e^x1+e^x = e^2x1+e^x

Resposta

integral e^2x1+e^x,dx = e^x - ln(1+e^x) + C

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