Definimos as funções trigonométricas hiperbólicas seno hiperbólico ( senh x ) e cosseno hiperbólico ( cosh x) por
senh x=e^x-e^-x2, cosh x=e^x+e^-x2
Definimos as demais funções hiperbólicas de maneira análoga às funções circulares, isto é,
tgh x=senh xcosh x, sech x=1cosh x
e etc.
Use (1) e a letra (b) para mostrar que (senh x)^prime=cosh x e (cosh x)^prime=senh x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
(senhx)'=cosh x e (cosh x)'=senhx,
usando a definição
senhx=e^x-e^-x2, cosh x=e^x+e^-x2,
e as regras de derivação de soma, constante e exponencial.

Passo 2

Derivando senhx vemos que é uma diferença dividida por 2, logo
(senhx)' =l(tfrace^x-e^-x2r)' =(e^x)';-;(e^-x)'2
Como (e^x)'=e^x e (e^-x)'=-e^-x, temos
(senhx)' =e^x-(-e^-x)2 =e^x+e^-x2 =cosh x

Passo 3

De modo análogo, para cosh x:
(cosh x)' =l(tfrace^x+e^-x2r)' =(e^x)';+;(e^-x)'2 =e^x+(-e^-x)2 =e^x-e^-x2 =senhx

Resposta

(senhx)'=cosh x, (cosh x)'=senhx

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