Definimos as funções trigonométricas hiperbólicas seno hiperbólico ( senh x ) e cosseno hiperbólico ( cosh x) por
senh x=e^x-e^-x2, cosh x=e^x+e^-x2
Definimos as demais funções hiperbólicas de maneira análoga às funções circulares, isto é,
tgh x=senh xcosh x, sech x=1cosh x
e etc.
Calcule a derivada de e^-x usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de e^-x de duas maneiras: (i) usando a regra do inverso multiplicativo e (ii) usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é a derivada da função exponencial e as regras de derivação de inverso e de composição de funções.

Passo 2

Para usar a regra do inverso multiplicativo, escrevemos
e^-x = 1e^x
Seja u(x)=e^x. Então e^-x=1/u e
u'(x)=ddxl(e^xr)=e^x
A derivada do inverso é
ddxl(1ur)=-u'u^2,
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ddxl(e^-xr) =-e^xl(e^xr)^2 =-1e^x =-e^-x

Passo 3

Para usar a regra da cadeia, vemos e^-x como composição f(u) com
f(u)=e^u, u(x)=-x
Temos
f'(u)=e^u e u'(x)=ddx(-x)=-1
Pela regra da cadeia,
ddxl(e^-xr) =f'l(u(x)r),u'(x) =e^-xcdot(-1) =-e^-x

Resposta

Em ambos os casos,
ddxl(e^-xr)=-e^-x

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