Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^pi^2 1raizx sin (raizx) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^pi^2 1raizx sin (raizx) dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve funções trigonométricas e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos deixar u = raizx. Isso significa que u^2 = x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados: dudx = 12raizx, então dx = 2raizx , du. Como u = raizx, podemos escrever dx = 2u , du.

Passo 4

Vamos substituir x e dx na integral original:
integral0^pi^2 1raizx sin (raizx) dx = integralu=0^u=pi 1u sin(u) cdot 2u , du
Aqui, quando x = 0, u = raiz0 = 0, e quando x = pi^2, u = raizpi^2 = pi.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
1u cdot 2u sin(u) = 2 sin(u)
Portanto, a integral fica:
integral0^pi 2 sin(u) du

Passo 6

Agora, vamos integrar 2 sin(u) em relação a u. A antiderivada de sin(u) é -cos(u), então:
integral 2 sin(u) du = -2 cos(u) + C
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar entre os limites de 0 e pi.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
-2 cos(pi) - (-2 cos(0)) = -2 (-1) - (-2 (1)) = 2 + 2 = 4

Resposta

O valor da integral definida é 4.

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