Calcule as seguintes integrais definidas: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve funções trigonométricas e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos deixar . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Derivando ambos os lados: , então . Como , podemos escrever .

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Aqui, quando , , e quando , .

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . A antiderivada de é , então:
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar entre os limites de e .

Passo 7

Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral definida é .

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