Calcule as seguintes integrais definidas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve funções trigonométricas e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos deixar
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados:
, então
. Como
, podemos escrever
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Aqui, quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
. A antiderivada de
é
, então:
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar entre os limites de
e
.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O valor da integral definida é
.