Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo justificando resumidamente:
0,999 ldots in Q

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o número decimal periódico infinito
0,999ldots
pertence ao conjunto dos números racionais Q. Para isso, vamos usar que toda expansão decimal periódica pode ser vista como uma série geométrica cuja soma é um número racional.

Passo 2

Escrevemos
0,999ldots = sumk=1^infty 9 times 10^-k
Aqui o primeiro termo é a = 9/10 e a razão é r = 1/10.

Passo 3

A soma de uma série geométrica infinita com |r|<1 é
a1 - r = tfrac9101 - tfrac110 = 9/109/10 = 1

Passo 4

Logo ,0,999ldots = 1, e como
1 = 11
é uma fração, concluímos que 0,999ldotsinQ.

Resposta

Verdadeira.

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