Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, que é uma parte da matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração quando identificamos partes da função que se relacionam de forma especial.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração que estamos integrando: . Note que o numerador, , parece estar relacionado à derivada do denominador, . Na verdade, se derivarmos o denominador em relação a , obtemos exatamente o numerador:
Isso é uma pista importante! Quando o numerador é a derivada do denominador, podemos usar uma técnica de substituição que simplifica a integral.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o denominador de :
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Isso significa que:
Agora, podemos reescrever a integral original em termos de :
Passo 4
A integral de em relação a é o logaritmo natural de , ou seja:
Como estamos lidando com uma integral definida de a , não precisamos nos preocupar com a constante de integração . Vamos agora substituir de volta para expressar a solução em termos de :
Agora, avaliaremos essa expressão nos limites de 0 a 1: