Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^1 e^x+1e^x+x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de e^x+1e^x+x de 0 a 1. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, que é uma parte da matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração quando identificamos partes da função que se relacionam de forma especial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração que estamos integrando: e^x+1e^x+x. Note que o numerador, e^x + 1, parece estar relacionado à derivada do denominador, e^x + x. Na verdade, se derivarmos o denominador em relação a x, obtemos exatamente o numerador:
ddx(e^x + x) = e^x + 1
Isso é uma pista importante! Quando o numerador é a derivada do denominador, podemos usar uma técnica de substituição que simplifica a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o denominador de u:
u = e^x + x
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = e^x + 1
Isso significa que:
du = (e^x + 1)dx
Agora, podemos reescrever a integral original em termos de u:
integral e^x + 1e^x + x dx = integral duu

Passo 4

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u, ou seja:
integral duu = ln|u| + C
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 1, não precisamos nos preocupar com a constante de integração C. Vamos agora substituir u de volta para expressar a solução em termos de x:
ln|u| |0^1 = ln(e^x + x) |0^1
Agora, avaliaremos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para x = 1:
ln(e^1 + 1) = ln(e + 1)
Para x = 0:
ln(e^0 + 0) = ln(1 + 0) = ln(1) = 0

Resposta

Então, a integral definida é:
ln(e + 1) - 0 = ln(e + 1)

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