Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=raiz[3]x, x0=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função f(x) = raiz[3]x e precisamos encontrar a derivada dela no ponto x0 = 1 . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que é como calcular a inclinação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de f em x0 é dada por:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h
Essa fórmula basicamente mede a taxa de variação da função bem perto do ponto x0 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(x) = raiz[3]x no ponto x0 = 1 . Substituindo na fórmula, temos:
f'(1) = limh to 0 raiz[3]1 + h - raiz[3]1h
Como raiz[3]1 = 1 , simplificamos para:
f'(1) = limh to 0 raiz[3]1 + h - 1h

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar uma técnica para lidar com a diferença que envolve raízes cúbicas. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado, que nesse caso é raiz[3](1 + h)^2 + raiz[3]1 + h + 1 . Assim, temos:
f'(1) = limh to 0 (raiz[3]1 + h - 1)(raiz[3](1 + h)^2 + raiz[3]1 + h + 1)h (raiz[3](1 + h)^2 + raiz[3]1 + h + 1)
No numerador, isso simplifica para (1 + h) - 1 = h . Então, o limite fica:
f'(1) = limh to 0 hh (raiz[3](1 + h)^2 + raiz[3]1 + h + 1) = limh to 0 1raiz[3](1 + h)^2 + raiz[3]1 + h + 1
Agora, substituímos h por 0:
f'(1) = 1raiz[3]1^2 + raiz[3]1 + 1 = 11 + 1 + 1 = 13

Resposta

A derivada de f(x) = raiz[3]x no ponto x0 = 1 é f'(1) = 13 .

Exercícios relacionados