Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=raizx+2, x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = raizx + 2 no ponto x0 = 0 usando a definição de derivada. Isso envolve calcular o limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função f no ponto x0 é dada por:
f'(x0) = limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0
Nesse caso, f(x) = raizx + 2 e x0 = 0 .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na definição:
f'(0) = limx to 0 raizx + 2 - raiz0 + 2x - 0 = limx to 0 raizx + 2 - raiz2x

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão. Uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx + 2 - raiz2 é raizx + 2 + raiz2 .
f'(0) = limx to 0 raizx + 2 - raiz2x cdot raizx + 2 + raiz2raizx + 2 + raiz2

Passo 5

Multiplicando os termos, temos:
f'(0) = limx to 0 (x + 2) - 2x(raizx + 2 + raiz2) = limx to 0 xx(raizx + 2 + raiz2)

Passo 6

Agora, podemos simplificar o x que está no numerador e no denominador:
f'(0) = limx to 0 1raizx + 2 + raiz2

Passo 7

Finalmente, substituímos x = 0 na expressão:
f'(0) = 1raiz0 + 2 + raiz2 = 1raiz2 + raiz2 = 12raiz2

Resposta

A derivada de f(x) = raizx + 2 no ponto x0 = 0 é 12raiz2 .

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