Calcule as seguintes integrais definidas:
integral4^7 x^3+5 x^2-4 x-20x^2+3 x-10 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
integral4^7x^3+5x^2-4x-20x^2+3x-10,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Sempre que o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, fazemos divisão polinomial para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Vamos dividir o polinômio x^3+5x^2-4x-20 pelo polinômio x^2+3x-10.
  1. Dividindo x^3 por x^2 obtemos x. Multiplicando:
xcdot(x^2+3x-10)=x^3+3x^2-10x
Subtraindo desse trecho do numerador:
(x^3+5x^2-4x)-l(x^3+3x^2-10xr) =2x^2+6x
  1. Trazer o termo -20, fica 2x^2+6x-20. Dividindo 2x^2 por x^2 obtemos 2. Multiplicando:
2cdot(x^2+3x-10)=2x^2+6x-20,
e a subtração anula o resto.
Logo
x^3+5x^2-4x-20x^2+3x-10 = x+2

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral4^7x^3+5x^2-4x-20x^2+3x-10,dx =integral4^7(x+2),dx

Passo 4

Integral de x+2 é
integral(x+2),dx =x^22+2x + C

Passo 5

Agora avaliamos de x=4 até x=7:
[x^22+2x]4^7 =l(7^22+2cdot7r) -l(4^22+2cdot4r)
Calculemos cada parte:
7^22+2cdot7 =492+14 =49+282 =772,
4^22+2cdot4 = 162+8 =8+8 =16 =322

Passo 6

Subtraindo, obtemos
772-322 =452

Resposta

452

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