Calcule as seguintes integrais definidas.
integral0^1 1(x+1)(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 1(x+1)l(x^2+1r),dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais de uma função racional e depois aplicação de integrais elementares (logaritmo e arco-tangente).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por [(x+1)(x^2+1)) obtemos
Igualando coeficientes:
Dessas equações segue e , portanto

Passo 3

Assim a integral vira
integral0^1 1(x+1)(x^2+1),dx = integral0^1l[tfrac121x+1 + -tfrac12,x+tfrac12x^2+1r]dx
Colocando fator 1/2 em evidência e separando:
12integral0^1l[1x+1 + 1x^2+1 - xx^2+1r]dx
Agora aplicamos as antiderivadas conhecidas:
integral1x+1dx = ln(x+1), integral1x^2+1dx = arctan x, integralxx^2+1dx = tfrac12ln(x^2+1)

Passo 4

Portanto a integral definida é
12l[ln(x+1) + arctan x - tfrac12ln(x^2+1)r]0^1
Em x=1 temos ln2 + tfracpi4 - tfrac12ln2 e em x=0 dá zero. Logo
12l(ln2 + pi4 - tfrac12ln2r) = 12l(pi4 + tfrac12ln2r) = pi8 + 14ln2

Resposta

pi8 + 14ln2

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