Calcule as seguintes integrais definidas.
integral4^8 xx^2-2 x-3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
integral4^8 xx^2-2x-3,dx
Aqui temos uma função racional (um quociente de polinômios) e o método mais direto é usar decomposição em frações parciais, que nos leva a expressar a integranda como soma de termos do tipo 1/(x-a).

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
Então escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Igualando coeficientes dá o sistema
cuja solução é . Portanto

Passo 3

Integrando termo a termo, temos
integral xx^2-2x-3,dx = 34 integral dxx-3 ;+;14 integral dxx+1 = 34 lnlvert x-3rvert + 14 lnlvert x+1rvert + C

Passo 4

Agora avaliamos de 4 a 8:
[34 ln|x-3| + 14 ln|x+1|]4^8 = l(tfrac34ln5 + tfrac14ln9r) - l(tfrac34ln1 + tfrac14ln5r)
Como ln1=0 e ln9=2ln3, isso se simplifica a
tfrac34ln5 - tfrac14ln5 + tfrac14cdot2ln3 = tfrac12ln5 + tfrac12ln3 = tfrac12ln(5cdot3) = tfrac12ln15

Resposta

tfrac12ln15

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