Esta questão se dedica ao cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo e os métodos de substituição de variáveis e de integração por partes.
integralx1^xf d x x cos (2 x),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralx1^xf xcos(2x),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e o método de integração por partes. Vamos precisar encontrar uma primitiva de xcos(2x) e depois aplicar F(xf)-F(x1).

Passo 2

Escolhemos para a integração por partes
u = x, dv = cos(2x),dx
Logo
du = dx, v = integral cos(2x),dx = 12sin(2x)

Passo 3

Pela fórmula de partes,
integral xcos(2x),dx = u,v - integral v,du = x2sin(2x) - integral 12sin(2x),dx
Agora
integral sin(2x),dx = -12cos(2x),
então
integral xcos(2x),dx = x2sin(2x) + 14cos(2x) + C
Definimos
F(x) = x2sin(2x) + 14cos(2x)

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integralx1^xf xcos(2x),dx = F(xf) - F(x1) = (xf2sin(2xf) + 14cos(2xf)) - (x12sin(2x1) + 14cos(2x1))

Resposta

integralx1^xf xcos(2x),dx = xf2sin(2xf)+14cos(2xf) - x12sin(2x1)-14cos(2x1)

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