Esta questão se dedica ao cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo e os métodos de substituição de variáveis e de integração por partes.
integralxi^xf d x(alphax+sigma x-gamma x^de<a),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralxi^xf!!dx;l(alphax+sigma x-gamma x^de<ar)
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as regras básicas de integração (potência e logaritmo).

Passo 2

Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos encontrar uma antiderivada F(x) tal que
F'(x)=alphax+sigma x-gamma x^de<a
Depois, avaliaremos F(xf)-F(xi).

Passo 3

Integramos o termo alpha/x. Usamos integral1x,dx=ln|x|, logo
integralalphax,dx =alphaintegral1x,dx =alpha,ln|x|

Passo 4

Integramos o termo sigma x. Pela regra da potência integral x^ndx=x^n+1/(n+1) com n=1, temos
integralsigma x,dx =sigma;x^22

Passo 5

Integramos o termo -gamma x^de<a. Aplicando a mesma regra de potência com n=de<a (supondo de<aneq -1),
integral(-gamma x^de<a),dx =-gamma;x^de<a+1de<a+1

Passo 6

Somando os resultados, uma antiderivada é
F(x) =alpha,ln|x| +sigma,x^22 -gamma,x^de<a+1de<a+1

Passo 7

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida vale
integralxi^xf!!dx;l(alphax+sigma x-gamma x^de<ar) =F(xf)-F(xi)

Resposta

boxed alphal[ln|xf|-ln|xi|r] +sigma2l(xf^2-xi^2r) -gammade<a+1l(xf^de<a+1-xi^de<a+1r)

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