Questão 5.

Resolva a equação diferencial
y(ln x-ln y) d x=(x ln x-x ln y-y) d y
x(ln x-ln y)-x=-y ln |y|+c y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y(ln x-ln y),dx = l(xln x - xln y - yr),dy
Vamos notar que aparece a combinação ln(x/y), sugerindo a substituição y=v x, de modo a reduzir tudo a variáveis separáveis.

Passo 2

Fazendo y=v x implica ln(x/y)=ln(1/v)=-ln v e
dy = v,dx + x,dv
Substituindo na equação original:
y(ln x-ln y),dx = xvl(-ln vr),dx,
xln x - xln y - y = xl(ln x-ln yr)-vx = xl(-ln vr)-vx,
então o lado de dy vira
l(-xln v - vxr),(v,dx + x,dv) = l(-v xln v -v^2 xr),dx + l(-x^2ln v -v x^2r),dv
Igualando a y(ln x-ln y),dx=-v xln v,dx e reorganizando, chega-se a
v^2 x,dx + x^2(ln v + v),dv = 0
Dividindo por xneq0:
v^2,dx + x,(ln v + v),dv = 0

Passo 3

Para separar as variáveis, escrevemos
v^2,dxx + (ln v + v),dv = 0 Longrightarrow v^2,d(ln x) = -(ln v + v),dv
Agora integramos ambos os lados:
integral d(ln x) = -integral ln v + vv^2,dv

Passo 4

Calculamos o lado direito em duas partes:
-integral ln vv^2,dv e -integral vv^2,dv = -integral 1v,dv
Para integralln vv^2,dv usamos integração por partes com
,u=ln v, dV=v^-2dv, obtendo
integral ln vv^2,dv = -ln vv - 1v + C1
Logo
-integral ln vv^2,dv = ln v + 1v, -integral 1v,dv = -ln v
Assim
ln x = ln v + 1v - ln v + C

Passo 5

Volta-se à variável original v=y/x. Como
ln v +1v = ln(y/x)+1y/x = xyl(ln y - ln x +1r),
temos
ln x = xy(ln y - ln x +1) - (ln y - ln x) + C
Reorganizando e multiplicando por -1 para simplificar, chega-se à forma implícita
x(ln x - ln y) - x = -yln|y| + C,y

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x(ln x - ln y) - x = -yln|y| + C,y,
onde C é constante arbitrária.

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