Calcule as seguintes integrais definidas.
integral2^3 2 x+3(x-1)(x^2+2 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^32x+3(x-1)l(x^2+2x+2r),dx
O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais para obter uma antiderivada.

Passo 2

Fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo e coletando termos em , e termo constante:
Comparando coeficientes:
resolvendo achamos , . Logo

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral1x-1,dx = lnlvert x-1rvert,
e para o segundo termo note que
x^2+2x+2=(x+1)^2+1,
então com u=x+1 obtemos
integralx+1x^2+2x+2,dx =integraluu^2+1,du =12lnl(u^2+1r) =12lnl(x^2+2x+2r)
Portanto uma antiderivada é
F(x)=lnlvert x-1rvert ;-;12lnl(x^2+2x+2r)

Passo 4

Agora avaliamos de 2 a 3:
F(3)-F(2) =l[ln(3-1)-tfrac12ln(3^2+6+2)r] -l[ln(2-1)-tfrac12ln(2^2+4+2)r]
=l[ln2-tfrac12ln17r] -l[0-tfrac12ln10r] =ln2-tfrac12ln17+tfrac12ln10
Podemos escrever
ln2+tfrac12ln10-tfrac12ln17 =lnl(2raiz10/17r)

Resposta

integral2^32x+3(x-1)(x^2+2x+2),dx =ln2-12ln17+12ln10 =ln!l(2raiztfrac1017r)

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