Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Em seguida, calcule a área da região.
(c) x=y^2-2, y=ln x, y=1, y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a área da região limitada pelas curvas
x = y^2 - 2, y = ln x, y = 1, y = -1
O conteúdo aqui é cálculo de área de região plana via integração. Como temos duas retas horizontais y=-1 e y=1, é mais conveniente integrar em relação a y. Precisaremos expressar as fronteiras esquerda e direita como funções de y.

Passo 2

Para esboçar, note que x=y^2-2 é uma parábola abrindo para a direita com vértice em (-2,0), e y=ln x invertida dá x=e^y, uma curva que cresce para a direita. Entre y=-1 e y=1, verifica-se que
e^y > y^2-2
para todo yin[-1,1]. Assim, a fronteira esquerda é x=y^2-2 e a direita é x=e^y, para -1<= y<=1.

Passo 3

Como a fronteira inferior é y=-1 e a superior é y=1, a área vale
A = integraly=-1^1 l[(x direita) - (x esquerda)r],dy = integral-1^1l(e^y - (y^2-2)r),dy

Passo 4

Calculemos a integral:
integral l(e^y - (y^2-2)r),dy = integral e^y,dy - integral y^2,dy + integral 2,dy = e^y - y^33 + 2y + C

Passo 5

Avalie de -1 a 1:
l[e^y - tfracy^33 + 2yr]-1^1 = l(e - tfrac13 + 2r) - l(e^-1 - tfrac(-1)^33 + 2(-1)r)
No primeiro parêntese fica e + 2 - tfrac13 = e + tfrac53.
No segundo, e^-1 + tfrac13 - 2 = e^-1 - tfrac53.
Subtraindo:
A = l(e + tfrac53r) - l(e^-1 - tfrac53r) = e - e^-1 + tfrac103

Resposta

A = e - e^-1 + 103

Exercícios relacionados