Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
lim (x, y, z) (0,2,-1) ln (x+y-z) cdot cos (2 x+5 y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite da função ln (x + y - z) cdot cos (2x + 5y + z) quando (x, y, z) se aproxima de (0, 2, -1). Isso envolve os conceitos de limites em múltiplas variáveis e propriedades das funções logaritmo e cosseno. Vamos precisar avaliar o comportamento de ln (x + y - z) e cos (2x + 5y + z) perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os valores de x + y - z e 2x + 5y + z no ponto (0, 2, -1):
x + y - z = 0 + 2 - (-1) = 3
2x + 5y + z = 2(0) + 5(2) + (-1) = 0 + 10 - 1 = 9
Isso significa que, perto de (0, 2, -1), x + y - z está próximo de 3 e 2x + 5y + z está próximo de 9.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da função:
  1. Para ln (x + y - z):
    Sabemos que a função logaritmo natural, ln(t), está bem comportada e contínua para t > 0. Como x + y - z se aproxima de 3, que é positivo, podemos calcular o limite do logaritmo diretamente.
  2. Para cos (2x + 5y + z):
    A função cosseno é contínua para todos os reais. Portanto, se o argumento 2x + 5y + z se aproxima de 9, podemos calcular o limite do cosseno diretamente.

Passo 4

Usando a propriedade da continuidade, o limite do produto de duas funções contínuas é o produto dos limites dessas funções. Então, temos:
lim (x, y, z) (0,2,-1) ln (x+y-z) cdot cos (2x+5y+z) = ( lim (x, y, z) (0,2,-1) ln (x+y-z) ) cdot ( lim (x, y, z) (0,2,-1) cos (2x+5y+z) )

Passo 5

Calculando cada limite separadamente:
  1. lim (x, y, z) (0,2,-1) ln (x+y-z) = ln(3)
  2. lim (x, y, z) (0,2,-1) cos (2x+5y+z) = cos(9)

Resposta

Portanto, o limite é:
ln(3) cdot cos(9)

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