Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve os conceitos de limites em múltiplas variáveis e propriedades das funções logaritmo e cosseno. Vamos precisar avaliar o comportamento de
e
perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os valores de
e
no ponto
:
Isso significa que, perto de
,
está próximo de 3 e
está próximo de 9.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte da função:
-
Para
:
Sabemos que a função logaritmo natural,, está bem comportada e contínua para . Como se aproxima de 3, que é positivo, podemos calcular o limite do logaritmo diretamente. -
Para
:
A função cosseno é contínua para todos os reais. Portanto, se o argumentose aproxima de 9, podemos calcular o limite do cosseno diretamente.
Passo 4
Usando a propriedade da continuidade, o limite do produto de duas funções contínuas é o produto dos limites dessas funções. Então, temos:
Passo 5
Calculando cada limite separadamente:
Resposta
Portanto, o limite é: